Pembuktian Luas Lingkaran

Rumus Luas Lingkaran dengan memandang lingkaran dalam koordinat kartesius. Persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x2 + y2 = r2 atau y = \sqrt{r^2-x^2}. Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran. Untuk mencari luasnya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r.

Photobucket

Luas = 4 \int_0^r \sqrt{r^2-x^2} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2-(r.sin \theta)^2} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2-r^2.sin^2 \theta} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2(1-sin^2 \theta)} dx

= 4 \int_0^r \sqrt{r^2.cos^2 \theta} dx

= 4 \int_0^r r.cos\theta dx

Karena sin \theta = \frac{x}{r} , berakibat x = r.sin \theta, turunkan kedua ruas maka dx = r.cos\theta d\theta, substitusi dx, sehingga diperoleh.

= 4 \int_0^r r.cos\theta (r.cos\theta d\theta)

= 4 \int_0^r r2.cos2\theta d\theta

= 4r2 \int_0^r (\frac{1+cos2\theta}{2}) d\theta

= 2r2 \int_0^r (1 + cos 2\theta) d\theta

= 2r2 (\theta + \frac{1}{2} sin 2\theta) \mid_0^r

= 2r2 (\theta + sin \theta cos \theta) \mid_0^r

Substitusi sin \theta = \frac{x}{r} , cos \theta = \frac{r^2-x^2}{r} dan \theta = sin-1(\frac{x}{r})

= 2r2 (sin-1(\frac{x}{r}) + \frac{x}{r} \frac{r^2-x^2}{r} ) \mid_0^r

= 2r2 (sin-1(\frac{x}{r}) + x\frac{r^2-x^2}{r^2} ) \mid_0^r

= 2r2 [(sin-1(\frac{r}{r}) + r\frac{r^2-r^2}{r^2} ) – (sin-1(\frac{0}{r}) + 0\frac{r^2-0^2}{r^2} )]

= 2r2 [(sin-1(1) + 0) – (sin-1(0) + 0)]

= 2r2[\frac{\pi}{2} + 0) – (0\pi + 0)]

= 2\pir2

sumber : http://aimprof08.wordpress.com/2012/09/30/pembuktian-rumus-luas-lingkaran/

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s